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title: KaTeX 数学デモ
published: 2025-04-01
lang: ja
abbrlink: katex-mathematical-demo
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KaTeX はクロスブラウザ対応の JavaScript ライブラリで、ウェブブラウザ上で数式を表示します。高速性と使いやすさに重点を置き、カーンアカデミーによって開発され、GitHub で最も注目を集める上位5プロジェクトの一つとなりました。

## 群論

バーンサイドの補題（Burnside's lemma）は、バーンサイドの計数定理、コーシー・フロベニウスの補題、または軌道計数定理とも呼ばれます。

有限群 $G$ の有限集合 $X$ への群作用を $\wedge$ とします。このとき、作用の軌道の数 $t$ は次の式で与えられます。

$$
t=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|
$$

各整数 $n\ge2$ に対して、商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $1+n\mathbb{Z}$ によって生成される巡回群であり、したがって $\color{red}{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n}$ となります。

商群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は $([0,1),+_1)$ と同型です。これは区間 $[0,1)$ 上の実数のモジュロ1の加法群です。

同型定理。準同型 $\phi\colon(G,\circ)\to(H,*)$ に対して、次の関数

$$
\begin{aligned}
f\colon G/\text{Ker}(\phi)&\to\text{Im}(\phi)\\
x\text{Ker}(\phi)&\mapsto\phi(x)
\end{aligned}
$$

は同型であり、したがって

$$
G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)
$$

## テイラーの定理

関数 $f$ が点 $a$ と $x$ を含む開区間で $(n+1)$ 回微分可能であるとします。このとき

$$
 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)
$$

ここで

$$
 R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
$$

$a$ と $x$ の間のある点 $c$ に対してです。

$\KaTeX$ には右揃えのオプションがないため、方程式番号のために追加の位置合わせ列が使用されています。これらは mkern 間隔（デフォルトは \mkern100mu）によって右側に押し出されます。align 環境と align* 環境の両方が使用でき、\tag と \notag も使用できます。

## Align 環境

$$
\begin{align}
\frac{\pi}{4n^2} &= \frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}2n^2J_n \tag{1} \\
&= \frac{4^n}{4(2n)!}\left(\frac{n!}{n}\right)^22n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{$\ddagger$} \\
&= \frac{4^{n-1}((n-1)!)^2}{(2n-2)!}J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{2}
\end{align}
$$

## Align* 環境

$$
\begin{align}
\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}J_N &\leq \frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}\frac{\pi^2}{4}\frac{1}{2n+2}I_{2N} \tag{*} \\
&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}I_{2N} \\
&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{\pi}{2} \tag{**} \\
&= \frac{\pi^3}{16(N+1)} \\
\frac{x}{\sin x} &\leq \frac{\pi}{2} \tag{3} \\
\text{したがって} \qquad\qquad x &\leq \frac{\pi}{2}\sin x \tag{4}
\end{align}
$$

## 級数の和

$$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{k+1}i &= \left(\sum_{i=1}^{k}i\right) +(k+1) \tag{1} \\
&= \frac{k(k+1)}{2}+k+1 \tag{2} \\
&= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \tag{3} \\
&= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \tag{4} \\
&= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \tag{5}
\end{align*}
$$

## 積の表記

$$
1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots
= \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})},
\text{ ただし }\lvert q\rvert < 1.
$$

## 外積

$$
\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1ex]
\frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\[2.5ex]
\frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0
\end{vmatrix}
$$

## マクスウェル方程式

$$
\begin{align*}
\nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} &= 4 \pi \rho \\
\nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} &= \vec{\mathbf{0}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} &= 0
\end{align*}
$$

## ギリシャ文字

$$
\begin{align*}
&\Gamma\ \Delta\ \Theta\ \Lambda\ \Xi\ \Pi\ \Sigma\ \Upsilon\ \Phi\ \Psi\ \Omega\\
&\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \omicron\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega\ \varepsilon\ \vartheta\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi
\end{align*}
$$

## 矢印

$$
\begin{align*}
&\gets\ \to\ \leftarrow\ \rightarrow\ \uparrow\ \Uparrow\ \downarrow\ \Downarrow\ \updownarrow\ \Updownarrow\\
&\Leftarrow\ \Rightarrow\ \leftrightarrow\ \Leftrightarrow\ \mapsto\ \hookleftarrow\\
&\leftharpoonup\ \leftharpoondown\ \rightleftharpoons\ \longleftarrow\ \Longleftarrow\ \longrightarrow\\
&\Longrightarrow\ \longleftrightarrow\ \Longleftrightarrow\ \longmapsto\ \hookrightarrow\ \rightharpoonup\\
&\rightharpoondown\ \leadsto\ \nearrow\ \searrow\ \swarrow\ \nwarrow
\end{align*}
$$

## 記号

$$
\begin{align*}
&\surd\ \barwedge\ \veebar\ \odot\ \oplus\ \otimes\ \oslash\ \circledcirc\ \boxdot\ \bigtriangleup\\
&\bigtriangledown\ \dagger\ \diamond\ \star\ \triangleleft\ \triangleright\ \angle\ \infty\ \prime\ \triangle
\end{align*}
$$

*サンプルは [KaTeX Live Demo](https://sixthform.info/katex/examples/demo.html) から抜粋しました*
