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|---|---|---|---|
| KaTeX 数学デモ | 2025-04-01 | ja | katex-mathematical-demo |
KaTeX はクロスブラウザ対応の JavaScript ライブラリで、ウェブブラウザ上で数式を表示します。高速性と使いやすさに重点を置き、カーンアカデミーによって開発され、GitHub で最も注目を集める上位5プロジェクトの一つとなりました。
群論
バーンサイドの補題（Burnside's lemma）は、バーンサイドの計数定理、コーシー・フロベニウスの補題、または軌道計数定理とも呼ばれます。
有限群 G の有限集合 X への群作用を \wedge とします。このとき、作用の軌道の数 t は次の式で与えられます。
t=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|
各整数 n\ge2 に対して、商群 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} は 1+n\mathbb{Z} によって生成される巡回群であり、したがって \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n となります。
商群 \mathbb{R}/\mathbb{Z} は ([0,1),+_1) と同型です。これは区間 [0,1) 上の実数のモジュロ1の加法群です。
同型定理。準同型 \phi\colon(G,\circ)\to(H,*) に対して、次の関数
\begin{aligned}
f\colon G/\text{Ker}(\phi)&\to\text{Im}(\phi)\
x\text{Ker}(\phi)&\mapsto\phi(x)
\end{aligned}
は同型であり、したがって
G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)
テイラーの定理
関数 f が点 a と x を含む開区間で (n+1) 回微分可能であるとします。このとき
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)
ここで
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
a と x の間のある点 c に対してです。
\KaTeX には右揃えのオプションがないため、方程式番号のために追加の位置合わせ列が使用されています。これらは mkern 間隔（デフォルトは \mkern100mu）によって右側に押し出されます。align 環境と align* 環境の両方が使用でき、\tag と \notag も使用できます。
Align 環境
\begin{align}
\frac{\pi}{4n^2} &= \frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}2n^2J_n \tag{1} \
&= \frac{4^n}{4(2n)!}\left(\frac{n!}{n}\right)^22n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{$\ddagger$} \
&= \frac{4^{n-1}((n-1)!)^2}{(2n-2)!}J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{2}
\end{align}
Align* 環境
\begin{align}
\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}J_N &\leq \frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}\frac{\pi^2}{4}\frac{1}{2n+2}I_{2N} \tag{*} \
&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}I_{2N} \
&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{\pi}{2} \tag{**} \
&= \frac{\pi^3}{16(N+1)} \
\frac{x}{\sin x} &\leq \frac{\pi}{2} \tag{3} \
\text{したがって} \qquad\qquad x &\leq \frac{\pi}{2}\sin x \tag{4}
\end{align}
級数の和
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{k+1}i &= \left(\sum_{i=1}^{k}i\right) +(k+1) \tag{1} \
&= \frac{k(k+1)}{2}+k+1 \tag{2} \
&= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \tag{3} \
&= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \tag{4} \
&= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \tag{5}
\end{align*}
積の表記
1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots
= \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})},
\text{ ただし }\lvert q\rvert < 1.
外積
\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \[1ex]
\frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \[2.5ex]
\frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0
\end{vmatrix}
マクスウェル方程式
\begin{align*}
\nabla \times \vec{\mathbf{B}} -, \frac1c, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \
\nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} &= 4 \pi \rho \
\nabla \times \vec{\mathbf{E}}, +, \frac1c, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} &= \vec{\mathbf{0}} \
\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} &= 0
\end{align*}
ギリシャ文字
\begin{align*}
&\Gamma\ \Delta\ \Theta\ \Lambda\ \Xi\ \Pi\ \Sigma\ \Upsilon\ \Phi\ \Psi\ \Omega\
&\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \omicron\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega\ \varepsilon\ \vartheta\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi
\end{align*}
矢印
\begin{align*}
&\gets\ \to\ \leftarrow\ \rightarrow\ \uparrow\ \Uparrow\ \downarrow\ \Downarrow\ \updownarrow\ \Updownarrow\
&\Leftarrow\ \Rightarrow\ \leftrightarrow\ \Leftrightarrow\ \mapsto\ \hookleftarrow\
&\leftharpoonup\ \leftharpoondown\ \rightleftharpoons\ \longleftarrow\ \Longleftarrow\ \longrightarrow\
&\Longrightarrow\ \longleftrightarrow\ \Longleftrightarrow\ \longmapsto\ \hookrightarrow\ \rightharpoonup\
&\rightharpoondown\ \leadsto\ \nearrow\ \searrow\ \swarrow\ \nwarrow
\end{align*}
記号
\begin{align*}
&\surd\ \barwedge\ \veebar\ \odot\ \oplus\ \otimes\ \oslash\ \circledcirc\ \boxdot\ \bigtriangleup\
&\bigtriangledown\ \dagger\ \diamond\ \star\ \triangleleft\ \triangleright\ \angle\ \infty\ \prime\ \triangle
\end{align*}
サンプルは KaTeX Live Demo から抜粋しました