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title: KaTeX Demostración Matemática
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published: 2025-04-01
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lang: es
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abbrlink: katex-mathematical-demo
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KaTeX es una biblioteca JavaScript multiplataforma que permite visualizar notación matemática en navegadores web. Destaca por su velocidad y facilidad de uso, fue desarrollada inicialmente por Khan Academy y se convirtió en uno de los cinco proyectos más populares de GitHub.
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## Teoría de Grupos
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El lema de Burnside, a veces también llamado teorema de conteo de Burnside, lema de Cauchy-Frobenius o teorema de conteo de órbitas.
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Sea $\wedge$ una acción de grupo de un grupo finito $G$ sobre un conjunto finito $X$. Entonces el número $t$ de órbitas de la acción viene dado por la fórmula.
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$$
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t=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|
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$$
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Para cada entero $n\ge2$, el grupo cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un grupo cíclico generado por $1+n\mathbb{Z}$ y por tanto $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n$.
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El grupo cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es isomorfo a $([0,1),+_1)$, el grupo de números reales en el intervalo $[0,1)$, bajo la adición módulo 1.
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Teorema de Isomorfismo. Sea $\phi\colon(G,\circ)\to(H,*)$ un homomorfismo. Entonces la función
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$$
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\begin{aligned}
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f\colon G/\text{Ker}(\phi)&\to\text{Im}(\phi)\\
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x\text{Ker}(\phi)&\mapsto\phi(x)
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\end{aligned}
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$$
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es un isomorfismo, así que
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$$
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G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)
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$$
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## Teorema de Taylor
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Sea la función $f$ diferenciable $(n+1)$ veces en un intervalo abierto que contiene los puntos $a$ y $x$. Entonces
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$$
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f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)
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$$
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donde
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$$
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R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
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$$
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para algún $c$ entre $a$ y $x$.
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$\KaTeX$ no tiene una opción de alineación a la derecha, por lo que se utiliza una columna alineada adicional para los números de ecuación. Estos son empujados a la derecha mediante el espaciado mkern, por defecto \mkern100mu. Se pueden utilizar tanto entornos align como align*, así como \tag y \notag.
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## Entorno Align
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$$
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\begin{align}
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\frac{\pi}{4n^2} &= \frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}2n^2J_n \tag{1} \\
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&= \frac{4^n}{4(2n)!}\left(\frac{n!}{n}\right)^22n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{$\ddagger$} \\
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&= \frac{4^{n-1}((n-1)!)^2}{(2n-2)!}J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{2}
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\end{align}
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$$
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## Entorno Align*
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$$
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\begin{align}
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\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}J_N &\leq \frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}\frac{\pi^2}{4}\frac{1}{2n+2}I_{2N} \tag{*} \\
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&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}I_{2N} \\
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&= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{\pi}{2} \tag{**} \\
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&= \frac{\pi^3}{16(N+1)} \\
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\frac{x}{\sin x} &\leq \frac{\pi}{2} \tag{3} \\
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\text{por lo tanto} \qquad\qquad x &\leq \frac{\pi}{2}\sin x \tag{4}
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\end{align}
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$$
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## Suma de una Serie
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$$
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\begin{align*}
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\sum_{i=1}^{k+1}i &= \left(\sum_{i=1}^{k}i\right) +(k+1) \tag{1} \\
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&= \frac{k(k+1)}{2}+k+1 \tag{2} \\
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&= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \tag{3} \\
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&= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \tag{4} \\
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&= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \tag{5}
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\end{align*}
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$$
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## Notación de Producto
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$$
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1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots
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= \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})},
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\text{ para }\lvert q\rvert < 1.
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$$
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## Producto Vectorial
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$$
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\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix}
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\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1ex]
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\frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\[2.5ex]
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\frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0
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\end{vmatrix}
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$$
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## Ecuaciones de Maxwell
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$$
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\begin{align*}
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\nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
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\nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} &= 4 \pi \rho \\
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\nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} &= \vec{\mathbf{0}} \\
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\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} &= 0
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\end{align*}
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$$
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## Letras Griegas
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$$
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\begin{align*}
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&\Gamma\ \Delta\ \Theta\ \Lambda\ \Xi\ \Pi\ \Sigma\ \Upsilon\ \Phi\ \Psi\ \Omega\\
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&\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \omicron\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega\ \varepsilon\ \vartheta\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi
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\end{align*}
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$$
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## Flechas
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$$
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\begin{align*}
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&\gets\ \to\ \leftarrow\ \rightarrow\ \uparrow\ \Uparrow\ \downarrow\ \Downarrow\ \updownarrow\ \Updownarrow\\
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&\Leftarrow\ \Rightarrow\ \leftrightarrow\ \Leftrightarrow\ \mapsto\ \hookleftarrow\\
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&\leftharpoonup\ \leftharpoondown\ \rightleftharpoons\ \longleftarrow\ \Longleftarrow\ \longrightarrow\\
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&\Longrightarrow\ \longleftrightarrow\ \Longleftrightarrow\ \longmapsto\ \hookrightarrow\ \rightharpoonup\\
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&\rightharpoondown\ \leadsto\ \nearrow\ \searrow\ \swarrow\ \nwarrow
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\end{align*}
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$$
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## Símbolos
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$$
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\begin{align*}
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&\surd\ \barwedge\ \veebar\ \odot\ \oplus\ \otimes\ \oslash\ \circledcirc\ \boxdot\ \bigtriangleup\\
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&\bigtriangledown\ \dagger\ \diamond\ \star\ \triangleleft\ \triangleright\ \angle\ \infty\ \prime\ \triangle
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\end{align*}
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$$
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*Ejemplos tomados de [KaTeX Live Demo](https://sixthform.info/katex/examples/demo.html)*
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